常见数学条件的给出方式
有意识总结常见数学条件的给出方式，有助于我们更好的理解数学内容。
前言
研究各种常见的数学条件的给出方式，能帮助我们更好的理解题意，更快的入题。
相关阅读
- 1、例说学习方法的改造和提升
- 2、分式型函数相关
- 3、变量集中
- 4、齐次式
知识点列举
案例：集合的包含关系给出方式
\(A\subseteq B\)
\(\Longleftrightarrow\) \(A\cap B=A\)
\(\Longleftrightarrow\) \(A\cup B=B\)
\(\Longleftrightarrow\) \(C_UB\subseteq C_UA\)
\(\Longleftrightarrow\) \(A\cap(C_UB)=\varnothing\)
案例：命题真假的给出方式
- 若\(p\land q\)为假，则\(p\)和\(q\)中至少有一个为假； 若\(p\lor q\)为真，则\(p\)和\(q\)中至少有一个为真；
- 若\(p\land q\)为真，则\(p\)和\(q\)都为真； 若\(p\lor q\)为假，则\(p\)和\(q\)都为假；
- 若\(\neg p\land q\)为真，则\(\neg p\)和\(q\)都为真，即\(p\)为假且\(q\)为真；
- 若\(\neg p\lor q\)为假，则\(\neg p\)和\(q\)都为假，即\(p\)为真且\(q\)为假；
- “若\(p\lor q\)为真命题，\(p\land q\)为假命题”，则意味着\(p\)、\(q\)必然一真一假，需要分类讨论：\(p\)真\(q\)假；或\(p\)假\(q\)真；
案例：正切值的给出方式
- 限定条件以简单变形形式给出，如已知\(tan\theta=2\)，求\(\cfrac{sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。[1]
- 已知\(\cfrac{\sin\theta-\cos\theta}{\sin\theta+\cos\theta}=2\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。
- 已知\(\theta\)角的终边过点\((4a，-3a)(a>0)\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。
- 已知\(\theta\)角的终边在直线\(3x+4y=0\)上，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。
- 已知如图，\(\tan\theta=AT\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。
- 已知\(\sin\theta=2\cos\theta\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。
- 已知\(\tan2\theta=-\cfrac{4}{3}\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。
- 若倾斜角为\(\theta\)的直线\(l\)与曲线\(y=x^4\)相切于点\((1，1)\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。
- 已知\(\sin(\cfrac{\pi}{6}-\theta)=\cos(\cfrac{\pi}{6}+\theta)\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。
- 已知\(sin(\pi-\theta)=2sin(\cfrac{\pi}{2}+\theta)\)，求\(\cfrac{sin2\theta-cos^2\theta}{1+sin^2\theta}\)的值。
- 已知直线\(2x-y-1=0\)的倾斜角为\(\theta\)，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。
- 已知点\((\theta，0)\)为函数\(f(x)=sinx+2cosx\)图像的一个对称中心，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。
- 已知直线\(l_1:x\cos\theta+2y=0\)与直线\(l_2:3x+y\sin\theta+3=0\)垂直，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。
- 已知直线\(l_1:x\cos\theta+2y=0\)与直线\(l_2:x\sin\theta+3y+3=0\)平行，求\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}\)的值。
- 以双曲线的渐近线的夹角形式给出[2]
案例：解三角形中的条件的给出方式
已知\(\triangle ABC\)的内角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边为\(a\)，\(b\)，\(c\)，_____________，\(A=\cfrac{\pi}{3}\)，\(b=\sqrt{2}\)，求\(\triangle ABC\)的面积；
分析：由①\(b^2+\sqrt{2}ac=a^2+c^2\)可得，\(\cos B=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)，则\(B=\cfrac{\pi}{4}\)；
由②\(a\cos B=b\sin A\)可得，\(\sin A\cos B=\sin B\sin A\)，即\(\sin B=\cos B\)，则\(B=\cfrac{\pi}{4}\)；
由③\(\sin B+\cos B=\sqrt{2}\)可得，\(\sqrt{2}sin(B+\cfrac{\pi}{4})=\sqrt{2}\)，即\(sin(B+\cfrac{\pi}{4})=1\)，则\(B=\cfrac{\pi}{4}\)；
故不论选择哪一个，通过不同的变形，都会得到条件\(B=\cfrac{\pi}{4}\)，故原问题等价于：
已知\(\triangle ABC\)的内角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边为\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(B=\cfrac{\pi}{4}\)，\(A=\cfrac{\pi}{3}\)，\(b=\sqrt{2}\)，求\(\triangle ABC\)的面积；
则由正弦定理\(\cfrac{a}{\sin A}=\cfrac{b}{\sin B}\)，可得\(a=\sqrt{3}\)，
故\(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}ab\sin C=\cfrac{1}{2}ab\sin (A+B)=\cfrac{1}{2}\times\sqrt{2}\times\sqrt{3}\times\sin(\cfrac{\pi}{4}+\cfrac{\pi}{3})\)
\(=\cfrac{3+\sqrt{3}}{4}\)；
案例：直线斜率的给出方式
- 利用斜率\(k=\tan\alpha\)的定义；
- 利用过两点的坐标，
- 利用导函数\(k=f'(x_0)\)给出，
如若倾斜角为\(\alpha\)的直线\(l\)与曲线\(y=x^4\)相切于点\((1，1)\)，则\(k=tan\alpha=y'|_{x=1}=4x^3|_{x=1}=4\)。
- 利用函数的切线的方向向量的坐标。
案例 ： 圆的给出方式
- 定义式：\(|OA|=r\)
- 标准式方程：\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)；
- 一般式方程\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(D^2+E^2-4F>0)\)；
- 直径式方程\((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)(其中圆的直径的端点是\(A(x_1，y_1)\)、\(B(x_2，y_2)\))。
- 参数式：\(x=r\cdot cos\theta，y=r\cdot sin\theta\)或\((r\cdot cos\theta，r\cdot sin\theta)\)
- 极坐标式：\(\rho=3，\theta\in [0，2\pi)\)
- 向量式：已知点\(M\)为曲线上的动点，点\(A,B\)为两个定点，且满足关系\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\)，则点\(M\)的轨迹方程是圆。[3]
案例 ：三点共线的给出方式或证明思路
- 向量表示形式：\(\overrightarrow{OC}=\lambda\overrightarrow{OA}+(1-\lambda)\overrightarrow{OB}\)[4]或\(\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{AC}\)
- 距离表示形式：\(|AB|+|BC|=|AC|\)
- 斜率表示形式:\(k_{AB}=k_{AC}\)
案例 ： 等差数列的给出方式
- 直接给出：\(a_{n+1}-a_n=3\)
- 变形给出：\(a_{n+1}=a_n+3\)
- 运算给出：\((a_{n+1}+a_n)(a_{n+1}-a_n)=0\)，\(a_n>0\)
- 向量给出：\(\overrightarrow{P_nP_{n+1}}=(1，a_{n+1}-a_n)=(1，3)\)
案例 ：对称中心的给出方式
- 直接给出：如函数\(f(x)=sin(x+\phi)\)的对称中心是\((\cfrac{\pi}{3}，0)\)
- 间接给出：如函数\(f(x)=sin(x+\phi)\)过点是\((\cfrac{\pi}{3}，0)\)，则点\((\cfrac{\pi}{3}，0)\)必是函数的对称中心
- 间接给出：如函数\(f(x)=sin(x+\phi)\)，满足\(\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}}f(x)\, dx=0\)，则点\((\cfrac{\pi}{3}，0)\)必是函数的对称中心
- 隐晦给出：如函数满足\(f(x)+f(\cfrac{2\pi}{3}-x)=0\)，则点\((\cfrac{\pi}{3}，0)\)必是函数的对称中心
案例 ：相等关系的给出方式
- 直接给出：如\(f(2)=4\)，
- 以不等关系给出：如\(2x\leq f(x)\leq \cfrac{1}{2}x^2+2\)对任意\(x\in R\)恒成立，则赋值可得\(4\leq f(2)\leq 4\)，即\(f(2)=4\)；
再比如\(|k|\leq 0\)，即等于给出\(k=0\)；\((m-1)^2\leq 0\)，即等于给出\(m=1\)；
案例 ：不等式的解的给出方式
- 直接给出：\(x=1\)是不等式\(x^2-2x+a\leq 0\)的解，求\(a\)的范围。
- 间接给出：集合\(\{1\}\)是不等式\(x^2-2x+a\leq 0\)的解集\(A\)的真子集，求\(a\)的范围。
- 间接给出：\(x=1\)满足不等式\(x^2-2x+a\leq 0\)是真命题，求\(a\)的范围；\(x=1\)满足不等式\(x^2-2x+a> 0\)是假命题，求\(a\)的范围。
- 隐晦给出：集合\(A=\{x\mid x^2-2x+a>0\}\)，\(1\notin A\)，求\(a\)的范围；
案例 ：函数的性质的给出方式
案例 ：ω的给出方式
- 直接给出：函数\(f(x)=2sin(2x+\cfrac{\pi}{3})\)的图像的横坐标缩短为原来的\(\cfrac{1}{3}\)，即新的\(\omega=3\)；
- 间接给出：\(f(x)=2sin(x+\cfrac{\pi}{3})\)的图像的横坐标扩大了\(2\)倍，即图像的横坐标扩大为原来的\(3\)倍，即新的\(\omega=\cfrac{1}{3}\)；
- 间接给出：\(f(x)=2tan\omega x(\omega>0)\)的图像的相邻两支截直线\(y=2\)所得的线段长为\(\cfrac{\pi}{2}\)，即\(T=\cfrac{\pi}{\omega}=\cfrac{\pi}{2}\)，则\(\omega=2\)；
- 间接给出：函数\(f(x)=2sin(\omega x+\cfrac{\pi}{3})\)的图像的相邻的两个最高(低)点之间的距离是3，即\(T=3\)，求得\(\omega=\cfrac{2\pi}{3}\)；
- 间接给出：函数\(f(x)=2sin(\omega x+\cfrac{\pi}{3})\)的图像的相邻的最高点和最低点之间的距离是5，由勾股定理求得\(\cfrac{T}{2}=3\)，则\(\omega=\cfrac{\pi}{3}\)；
- 间接给出：函数\(f(x)=2sin(\omega x+\cfrac{\pi}{3})\)的图像的相邻的两个零点之间的距离是3，即\(\cfrac{T}{2}=3\)，则\(\omega=\cfrac{\pi}{3}\)；
- 间接给出：函数\(f(x)=2sin(\omega x+\cfrac{\pi}{3})\)的图像的相邻的两条对称轴之间的距离是3，即\(\cfrac{T}{2}=3\)，则\(\omega=\cfrac{\pi}{3}\)；
- 间接给出：函数\(f(x)=2sin(\omega x+\cfrac{\pi}{3})\)的图像的相邻对称轴和零点之间的距离是3，即\(\cfrac{T}{4}=3\)，则\(\omega=\cfrac{\pi}{6}\)；
- 间接给出：函数\(f(x)=2sin(\omega x+\cfrac{\pi}{3})\)的图像的相邻的最高点和零点之间的距离是\(2\sqrt{2}\)，由勾股定理求得\(\cfrac{T}{4}=2\)，则\(\omega=\cfrac{\pi}{4}\)；
案例 ：二次函数的系数的给出方式
- 直接给出：已知二次函数\(f(x)=x^2-ax+a(a>0，x\in R)\)的系数\(a=?\)，
- 间接给出：已知二次函数\(f(x)=x^2-ax+a(a>0，x\in R)\)，有且只有一个零点，则\(\Delta =0\)，解得\(a=4\)；
- 间接给出：已知二次函数\(f(x)=x^2-ax+a(a>0，x\in R)\)，\(f(x)\)的值域为\([0，+\infty)\)，则\(\Delta =0\)，解得\(a=4\)；
案例 ：数列的周期性的给出方式：
- \(a_{n+2}=a_n\)或\(a_{n+2}-a_n=0\)；则数列的\(T=2\)；
分析：类比\(f(n+2)=f(n)\)，再类比\(f(x+2)=f(x)\)；
- \(a_{n+2}=-a_n\)或 \(a_{n+2}+a_n=0\)；则数列的\(T=4\)；
分析：类比\(f(n+2)=-f(n)\)，再类比\(f(x+2)=-f(x)\)；
- \(a_{n+2}=\cfrac{k}{a_n}\)或\(a_{n+2}\cdot a_n=k\)；\(k\)为常数；等积数列，则数列的\(T=4\)；
分析：类比\(f(n+2)=\cfrac{k}{f(n)}\)，再类比\(f(x+2)=\cfrac{k}{f(x)}\)；
- \(a_{n+2}=a_{n+1}-a_n\)或\(a_{n+2}+a_n=a_{n+1}\)；则数列的\(T=6\)；
分析：类比\(f(n+2)=f(n+1)-f(n)\)，再类比\(f(x+2)=f(x+1)-f(x)\)；
- \(a_{n+1}=(-1)^n(a_n+1)\)；通过计算前面的有限项得到周期；
案例 ：分段函数的给出方式
- 直接给出：函数\(f(x)=\begin{cases}2x+a,&x< 1\\-x-2a,&x\ge 1 \end{cases}\).
- 间接给出：已知奇函数\(f(x)\)满足\(x>0\)时，\(f(x)=2^x\)，则利用奇偶性可知函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{2^x，x>0}\\{0，x=0}\\{-2^{-x}，x<0}\end{array}\right.\)
- 用程序框图给出：
案例 ：线段等分点的向量给出方式
二等分点(中点)：\(\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OB}\)，或\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}\)，则点\(O\)是\(AB\)的中点；即\(|OA|=|OB|\)；
三等分点：\(\overrightarrow{OA}=-2\overrightarrow{OB}\)，或\(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}\)，则点\(O\)是\(AB\)的靠近\(B\)的三等分点；即\(|OA|=2|OB|\)；
相关变形技巧：\(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\vec{0}\)，
将其系数做恰当的拆分得到，\((\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})+2(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\vec{0}\)，
如图即\(2\overrightarrow{OD}=-4\overrightarrow{OE}\)，即\(\overrightarrow{OD}=-2\overrightarrow{OE}\)，
即可知点\(O\)一定在\(\Delta ABC\)的中位线\(DE\)上，且在中位线上靠近点\(E\)的三等分点处。
四等分点：\(\overrightarrow{OA}=-3\overrightarrow{OB}\)，或\(\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}\)，则点\(O\)是\(AB\)的靠近\(B\)的四等分点；即\(|OA|=3|OB|\)；
案例 ：三角形的重心的给出方式
- 直接给出：点\(O\)是\(\triangle ABC\)的重心；
- 间接给出：点\(O\)是\(\triangle ABC\)的边\(BC\)的中线上的靠近\(BC\)的三等分点；
- 间接给出：\(\overrightarrow{OA}=-2\overrightarrow{OB}\)，点\(O\)是中位线\(DE\)的三等分点，是\(\triangle BCD\)的重心；
- 间接给出：\(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\vec{0}\)，点\(O\)是中位线\(DE\)的三等分点，是\(\triangle BCD\)的重心；
- 间接给出：\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AD}\)，点\(D\)是\(\triangle ABC\)的重心；
案例：长度型几何概型的事件的给出方式
在区间\([-5，5]\)上随机取一个数\(k\)，则事件\(A：\)“直线\(y=kx\)与圆\((x-5)^2+y^2=9\)相交”发生的概率为____________。
则①以直线和圆相交的方式给出；
比如，在区间\([-1，1]\)上随机取一个数\(k\)，则事件“直线\(y=kx\)与圆\((x-5)^2+y^2=9\)相交”发生的概率为____________.
②以定义域的方式给出；
比如，记函数\(f(x)=\sqrt{6+x-x^2}\)的定义域为\(D\)，在区间\([4，5]\)上随机取一个数\(x\)，则\(x\in D\)的概率为______________。
③以函数单调递增的方式给出，比如使得函数\(f(x)=x^3+mx^2+3x\)在\(R\)上单调递增的概率，即求\(f'(x)\ge 0\)的解集；
④以不等式的解集形式给出，比如\(A=\{x\mid \cfrac{x-1}{2-x}>0\}\)；
⑤以三角不等式的形式给出，比如\(A：sinx+\sqrt{3}cosx\leq 1\)；
详解：\(\cfrac{sin2\theta-cos^2\theta}{1+sin^2\theta}=\cfrac{2sin\theta cos\theta-cos^2\theta}{2sin^2\theta+cos^2\theta}\)
\(=\cfrac{2tan\theta-1}{2tan^2\theta+1}=\cfrac{2\times 2-1}{2\times2^2+1}=\cfrac{1}{3}\)
【解后反思】分子分母都是关于\(sin\theta\)和\(cos\theta\)的二次齐次式时，给分子分母同除以\(cos^2\theta\)，转化为关于\(tan\theta\)的一元函数问题来求解，代值运算即可。 ↩︎(2018宝鸡市二检)双曲线\(\cfrac{y^2}{4}-x^2=1\)的渐近线所夹的角中的锐角为\(\alpha\)，求\(cos2\alpha\)的值。
分析：由题目可以知道，其渐近线为\(y=\pm 2x\)，
取其一\(y=2x\)，则其倾斜角为\(\theta\)，可知\(tan\theta=2\)，
求\(tan\alpha\)的思路之一：
又知道\(\theta+\cfrac{\alpha}{2}=\cfrac{\pi}{2}\)，则\(\theta=\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{\alpha}{2}\)，带入上式得到，
\(tan\theta=tan(\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{\alpha}{2})=cot\cfrac{\alpha}{2}=2\)，即\(cot\cfrac{\alpha}{2}=2\)，
则\(tan\cfrac{\alpha}{2}=\cfrac{1}{2}\)，由\(tan\alpha=\cfrac{2tan\cfrac{\alpha}{2}}{1-tan^2\cfrac{\alpha}{2}}\)得到，\(tan\alpha=\cfrac{4}{3}\)。
求\(tan\alpha\)的思路之二：
用三角函数的定义，在\(y=2x\)上取点\((1，2)\)，\(tan\cfrac{\alpha}{2}=\cfrac{1}{2}\)，
由\(tan\alpha=\cfrac{2tan\cfrac{\alpha}{2}}{1-tan^2\cfrac{\alpha}{2}}\)得到，\(tan\alpha=\cfrac{4}{3}\)。
到此，题目转化为已知\(tan\alpha=\cfrac{4}{3}\)，求\(cos2\alpha=？\)的值。
\(cos2\alpha=\cfrac{cos^2\alpha-sin^2\alpha}{cos^2\alpha+sin^2\alpha}=\cfrac{1-tan^2\alpha}{1+tan^2\alpha}=-\cfrac{7}{25}\)。 ↩︎引申：若\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}>0\)，则点\(M\)在以\(AB\)为直径的圆外部；
若\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}<0\)，则点\(M\)在以\(AB\)为直径的圆内部； ↩︎
